Éclairage d'une scène de théatre

Le technicien d'un théâtre est chargé d'installer un projecteur pour éclairer la scène qui mesure 6 mètres de long. L'éclairement `E` (en lux) en fonction de la position horizontale `x` du projecteur est modélisé par la fonction suivante : \(E(x)= -200x²+1200x-1000\) où `x` appartient à l'intervalle \([0{;}6]\).

Problématique : déterminer la zone du sol de la scène qui sera éclairée par ce projecteur et la position sur la scène où l'éclairement sera maximum.

1. Calculer l'éclairement (en lux) à la position `x=2`.

On considère la fonction `f` définie par \(f(x)=-200x²+1200x-1000\) sur l'intervalle \([0{;}6]\).

La représentation graphique de la fonction `f` est donnée ci-dessous.

2. Déterminer graphiquement les solutions de l'équation `f(x)=0`.

3. À quoi correspondent ces solutions dans le contexte de l'activité ?

4. Déterminer graphiquement la valeur de `x` pour laquelle la fonction `f` atteint son maximum.

5. Déterminer graphiquement la valeur du maximum de la fonction `f`.

6. Répondre à la problématique de l'activité.